48思维模型分形理论一非线性科学三大理论

我们上学的时候都学过，我国的海岸线全长一万八千余公里(北起鸭绿江口,南止北仓河口)。这个长度是以1公里长的标尺测量得到的。然而如果我们采用短些的标尺,例如1厘米长的标尺,则测得海岸线长度为.2万公里,这是地理书上给出长度的倍。为什么呢？

原因是由于港湾海角的存在,海岸线是相当的曲折,用大的标尺去测量会忽略掉其很多的弯曲的细节。海岸线的长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将短于1km的迁回曲折长度忽略掉;若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迁回曲折，长度将变大;若测量单位进一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一一个确定值，这就是海岸线的长度。

其实早在年Mandelbrot就提出“英国的海岸线有多长?”的问题

Mandelbrot发现:当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑的。

在自然界中，几乎没有什么东西是平缓的，大多数事物都是有皱褶的、不规则的、细圆齿状的，通常都以一种自相似的形式存在。想想森林、山脉、蔬菜、云和海洋表面。由此看来，大多数自然物体都没有绝对的客观长度，在陈述测量结果时，很重要的一点是分辨率是多少。

人类在设计和制造人类工程学产品时，无论是原始的罐子和工具，还是现代化的复杂汽车、计算机和摩天大楼。我们都使用并且追求直线、平滑曲线和平滑表面的简单性。量化测量的发展及数学的发明，尤其是欧几里得几何的理想化范式，完美地展现了这一点。

在这个人工制品的新世界中，我们不可避免地习惯于通过蒙蔽我们的欧几里得几何(直线、平滑曲线和平滑表面)的滤镜观察世界。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海浪等等，用欧几里德几何学是无能为力的。

复杂科学认为，客观世界是高度复杂的，而且被褶皱、波纹和小褶皱主导。正Mandelbrot简单明了地概述:“平缓的形状在野外很少见，但在象牙塔和工厂中极为重要。”

所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。

产生于上世纪70年代的分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系。

分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的生命力。世界上种学术刊物在80年代后期发表的论文中,与分形有关的占据37.5%。从发表论文来看，所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材料化学、电子技术、表面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美学、思维、音乐、艺术等。

一、什么是分形

1、分形的定义：部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。（Mandelbrot）

所以,一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分形的几何，称为分形几何。分形几何也是目前最前沿的学科。

我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，分形几何是研究自然界大量存在的不规则形体。

伟大的数学家美籍华人陈省身认为几何学可分为以下阶段:

第一阶段：公理(欧几里德);

第二阶段：坐标(笛卡尔、费马);

第三阶段：微积分(牛顿菜布尼兹);

第四阶段：群(克莱因、李)

第五阶段：流形(黎曼);

第六阶段：纤维丛(嘉当、惠特尼)。

第七阶段：分形几何(曼德勃罗特)

所以分形几何是二十一世纪的几何。

2、分形的提出者：Mandelbrot

分形这个名词是由曼德勃罗特在年首次提出（创造）的，其原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体。曼德勃罗特是美国IBM公司沃特森研究中心自然科学部高级研究员，哈佛大学应用数学兼职教授，美国国家科学院院士。曾先后在哈佛大学教过经济学，在耶鲁大学教过工程学，在爱因斯坦医学院教过生理学。研究领域横跨数学、物理学、地学、经济学、生理学、计算机、天文学、情报学、信息与通讯、城市与人口、哲学与艺术等众多学科与专业，是一位真正的跨学科的博学家。正是这些不同学科或问题的杂交，才结出一个完全新颖的果实一一分形理论。他出版的专著《自然界的分形几何学》，代表着分形理论初步形成。

二、分形的特征

1、自相似性

分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。例如菜花、树叶等。

人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。

太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统之间存在着自相似的性质。

物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的产物，解剖学研究表明，人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统等在结构上都具有高度的自相似性。

一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。

佛说：一沙一世界，一花一天堂；袖里有乾坤，壶中有日月；在每一粒灰尘中都呈现出无数的佛。《易经》认为:“无极生两仪，俩仪生四象，四象生八卦。《道德经》认为：道生一、一生二、二生三、三生万物、以今天分形几何的观点来看，古人的思想里包含有自相似概念。

2、标度不变性

所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图像，无法判断所用放大镜的倍数。

自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。

三、分形理论的应用

分形理论是一个交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，无不闪现着分形的身影。

美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能称为科学的文化人。说明了分形理论的巨大科学价值。下面从哲学、经济等几个维度阐述一下分形理论的应用。

1、哲学

（1）整体与部分

分形理论打破了整体与部分之间的隔膜，找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁即整体与部分之间的相似。从认识事物的途径或思考问题的方法来看，分形论与系统论分别体现了从两个端点出发的思路。它们之间的互补，恰好完整地、全面地体现了辩证的思维方法。系统论由整体出发来确立各个部分的系统性质，它沿着从宏观到微观的方向考察整体与部分之间的相关性。而分形论则由部分出发来确立整体的性质，沿着微观到宏观的方向考察部分与整体之间的相似性。也就是说，系统论强调了部分依赖于整体的性质，体现了从整体出发认识部分的方法，分形论强调了整体依赖于部分的性质，体现了从部分出发认识整体的方法。于是，两者构成的互补，即系统论和分形论相互辉映，极大地提高了人类对自然界认识的能力。

分形论作为认识世界的一新方法，不仅在于从整体与部分之间的信息“同构”中，找到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁，为人们从部分中认识整体、从有限中认识无限提供了可能和根据，而且分形论的提出使人们对整体与部分关系的认识方法、思维方法由线性阶梯进展到非线性阶梯，揭示了它们之间多层面、多视角、多维度的联系方式。

（2）生成论和构成论的自然观

自然观与自然科学的发展紧密联系，任何关于自然界的科学理论，原则上都可以成为建立某种自然观的根据，并形成一种研究纲领。例如，随着物理学的发展出现过以牛顿力学为基础的力学世界图景、以热力学为基础的能学世界图景、以电磁学为基础的电磁世界图景以及基本相互作用统一的物理世界图景，随着生物学的发展出现进化世界图景，随着非平衡态热力学的发展出现自组织世界图像。分形几何作为描述复杂自然形态及其生成机制的有力工具，又为人类建构新的自然图景提供了新的科学根据，形成一种新的自然图景。

分形理论已经对自然观产生强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。

在人类探索宇宙的本源之始，就存在着事物是由本原生成的还是由本原构成的争论。生成论认为事物是由本原生成的，它的变化是“产生”、“消亡”或“转化”；构成论认为事物是由本原构成的，它的变化是要素之间的结合或分离。构成论思想产生于古代希腊的原子论，深深地影响着科学家的思维。构成论认为自然界的一切事物都归结为基本粒子的结合或分离。这种思考和分析问题的方法推动了科学技术的进步，取得一系列成果，诸如汽车、电视机、电脑等产品给人类的生活带来了许多方便和舒适。但是，根据构成论思想，把一个东西不断分割下去，以便给出一切问题的解答，遇到很大困难。所以科学家们开始转向生成论。宇宙的演化、生物的进化、思维的形成无不表现为一个生成的过程，这一切无不支持生成论，但因其缺乏理论支持，而未能被科学界普遍接受。分形生成过程的迭代性(或递归性)为生成论自然观提供了理论根据，而且分形几何已经证明，任何复杂的事物形态原则上都可以通过迭代法生成。

2、经济学

股票价格变动图因价格涨落的非常厉害，而且完全是随机的，因此使人感到几乎无规律可循。但若从统计学观点解析这一变动，就会发现有很好的规律。Mandelbrot发现下面两个法则：

⑴每个单位时间内的股票价格变动分布，服从特性指数D≈1.7的对称稳定分布。

⑵单位时间不论取多大或多小，其分布也是相似的。也就是说，适当地改变尺度，就可成为同样的分布。

因此，我们可以从分形的角度去思考股票价格的波动，虽然不能够帮助我们预测未来，但为我们提供了一个分析维度。

3、其他领域（音乐、艺术、图形压缩等）

著名的电影“星球大战”就是利用分形技术创作的。由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其情有独钟，分形图像压缩被认为最具前景的图像压缩技术之一，分形图形学被认为是描绘大自然景色最诱人的方法。

分形音乐是利用分形理论来建构一些带有自相似小段的合成音乐，由一个算法的多重迭代产生的，主题在带有小调的三番五次的反复循环中重复，在节奏方面可以加上一些随机变化，它所创造的效果，无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐。

总结

分形理论是一门重要的新学科，它的历史很短，但是卷入分形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、材料学家等，在社会科学与人文科学方面，大批哲学家、经济学家、金融学家乃至作家画家和电影制作家都蜂拥而入。分形理论正处于发展之中，它涉及面广但还不够成熟，对它争论也不少，但是由于已被广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有领域，所以成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。

参考文献：

分形的哲学漫步——林夏水

分形理论的科学和哲学意义——张国祺

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